2進数の四則演算とその筆算とPython3による計算

2進法における四則演算のやり方は、単純な演算規則さえ覚えれば、それ以外では10進法におけるやり方と基本的に変わらない。

2進数の足し算

2進法における加算は次の規則に従う。

\[ \begin{align*} 0 + 0 &= 0 \\ 1 + 0 &= 1 \\ 0 + 1 &= 1 \\ 1 + 1 &= 10（上の位に1足す） \end{align*} \]

2進法では\( 1 + 1 \)で位が一つ上がり、その上の位に1足す必要があることに要注意。

\( 1101.01 + 1001.1 \)を筆算で表わすと次のようになる。上記の規則に従うことを除いては演算方法は10進法と同じ。

\[ \begin{eqnarray} &&&&1&1&0&1&.&0&1 \\ +&&&&1&0&0&1&.&1&0 \\ \hline &&&&&&&&&&1 \\ &&&&&&&&&1 \\ &&&&&&1&0 \\ &&&&&&0& \\ &&&&&1 \\ +&&&1&0 \\ \hline &&&1&0&1&1&0&.&1&1 \end{eqnarray} \]

Python3を使って答え合わせ。0bはその数が2進数であることを表わしている。小数点は計算の便宜上取り除いた。

>>> a = int('0b110101',2)
>>> b = int('0b100110',2)
>>> c = a + b
>>> bin(c)
'0b1011011'

int()函数を用いて2進数を10進数に変換して加算をしてからbin()函数を用いて2進数に戻した。

2進数の引き算

2進法における減算は次の規則に従う。

\[ \begin{align*} 0 - 0 &= 0 \\ 1 - 0 &= 1 \\ 1 - 1 &= 0 \\ 10 - 1 &= 1 （上の位から1引く）\\ \end{align*} \]

2進法では\( 0 -1 \)で位が一つ下がり、その上の位から1引く必要があることに要注意。上に位がない\( 0 - 1 \)の場合には負の数(-1)になる。

\( 1101.1 - 1001.01 \)を筆算で表わすと次のようになる。上記の規則に従うことを除いては演算方法は10進法と同じ。

\[ \begin{eqnarray} &&&1&1&0&1&.&1&0 \\ -&&&1&0&0&1&.&0&1 \\ \hline &&&&&&&&0&1 \\ &&&&&&&&0 \\ &&&&&&0 \\ &&&&&0 \\ &&&&1 \\ +&&&0 \\ \hline &&&&1&0&0&.&0&1 \end{eqnarray} \]

Python3を使って答え合わせ。0bはその数が2進数であることを表わしている。小数点は計算の便宜上取り除いた。

>>> a = int('0b110110',2)
>>> b = int('0b100101',2)
>>> c = a - b
>>> bin(c)
'0b10001'

int()函数を用いて2進数を10進数に変換してから減算してbin函数を用いて2進数に戻した。

2進数のかけ算

2進法における乗法は次の規則に従う。

\[ \begin{align*} 0 \times 0 &= 0 \\ 1 \times 0 &= 0 \\ 0 \times 1 &= 0 \\ 1 \times 1 &= 1 \\ \end{align*} \]

\( 101.1 \times 10.1 \)を筆算で表わすと次のようになる。上記の規則に従うことを除いては演算方法は10進法と同じ。両方の数に10（10進数の2）をかけて小数点を右に1桁移動させておくと計算しやすい。筆算後、その数に100（10進数では4）をかければそれが解。

\[ \begin{align*} 101.1 \times 10 &= 1011 \\ 10.1 \times 10 &= 101 \end{align*} \] \[ \begin{eqnarray} &&&&1&0&1&1 \\ \times &&&&&1&0&1 \\ \hline &&&&1&0&1&1 \\ &&&0&0&0&0\\ +&&1&0&1&1 \\ \hline &&1&1&0&1&1&1 \end{eqnarray} \] \[ \begin{eqnarray} 110111 \div 100 = 1101.11 \end{eqnarray} \]

Python3を使って答え合わせ。0bはその数が2進数であることを表わしている。小数点は計算の便宜上取り除いた。

>>> a = int('0b1011',2)
>>> b = int('0b101',2)
>>> c = a * b
>>> bin(c)
'0b110111'

int()函数を用いて2進数を10進数に変換して乗算してからbin()函数を用いて2進数に戻した。

2進数の割り算

2進法における除算は次の規則に従う。

\[ \begin{align*} 0 \div 1 = 0 \\ 1 \div 1 = 1 \end{align*} \]

\( 1010.1 \div 1.11 \)を筆算で表わすと次のようになる。その前に両方の数に100（10進法では4）を掛けて小数点を右に2桁移動させておくと計算しやすい。

\[ \begin{eqnarray} 1010.1 \times 100 = 101010 \\ 1.11 \times 100 = 111 \end{eqnarray} \] \[ \begin{eqnarray} 110 \\ 111 ) \overline{101010} \\ \underline{-111} \hspace{1em} \\ 0111 \hspace{0.6em} \\ \underline{-1110} \\ 0000 \hspace{0.1em} \end{eqnarray} \]

Python3を使って答え合わせ。0bはその数が2進数であることを表わしている。小数点は計算の便宜上取り除いた。

>>> a = int('0b101010',2)
>>> b = int('0b111',2)
>>> c = a / b
>>> bin(int(c))
'0b110'

int()函数を用いて2進数を10進数に変換して乗算してからbin()函数を用いて2進数に戻した。

割り算の結果は浮動小数点数になるのでint()函数で整数に戻してやる必要がある。そうしないとbin()函数を用いて2進数に戻すときに型エラーが生じてしまうので要注意。

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