r進数から10進数への変換
r進数のrはradixの頭文字。radixは位取り記数法の基数を意味している。底(base)とも呼ぶ。10進法は0から9までの10個の数を用いるので基数は10となる。2進法では0と1の2つだけの数を用いるので基数は2となる。16進数では0から9までとA, B, C, D, E, Fの計16個の数が用いられるので基数は16となる。 2進数から10進数への変換 例えば1101という2進数を10進数へと変換するには次のように計算する。丸括弧は見やすいように付けた。角各個の添字が基数。各位の値に各位の重み\( 2^3, 2^2, 2^1, 2^0 \)をそれぞれ掛けて最後に足し合わせている。 \[ \begin{align*} [1101]_2 &\Rightarrow [(1 \times 2^3) + (1 \times 2^2) + (0 \times 2^1) + (1 \times 2^0)]_{10} \\ &\Rightarrow [(1 \times 8) + (1 \times 4) + (0 \times 2) + (1 \times 1)]_{10} \\ &\Rightarrow [8 + 4 + 0 + 1]_{10} \\ &\Rightarrow [13]_{10} \end{align*}\] 2進数である1101を10進数へ変換すると13になった。2進数はその各位の数を\( 2^n \)倍した数と等しい。指数が0から始まり、0乗が常に1になることに要注意。 じゃあ、小数点がある場合はどう計算するのか。例えば1.011という2進数を10進数へと変換するには次のように計算する。各位の値を各位の重み\( 2^1, 2^2, 2^3 \)でそれぞれ割って最後に足し合わせている。 \[ \begin{align*} [1.011]_2 &\Rightarrow \left[(1 \times 2^0) + \left(0 \times \dfrac{1}{2^1}\right) + \left(1 \times \dfrac{1}{2^2}\right) + \left(1 \times \dfrac{1}{2^3}\right)\right]_{10} \\ &\Rightarrow [