マイナスかけるマイナスがなぜプラスになるのか
負の数同士の2項のかけ算がなぜ正の数になってしまうのかをちょっと考えてみた。このことはつまり、負の数同士のかけ算と正の数同士のかけ算とが互いに等しいことを証明することだと思われる。 \[ a \times b = -a \times -b \hspace{1cm} (a, b \in \mathbb{N}) \] ちなみに、\( a, b \in \mathbb{N} \)はaとbが自然数であることを表した。そういうわけで0は、かけ算ではすべての数を0に吸収してしまうので、ここでは例外としておく。 例えば、aに2を、bに3を代入してみると、どちらも同じ6になることが分かる。 \[ \begin{align*} a = 2 \\ b = 3 \\ 2 \times 3 = 6 \\ -2 \times -3 = 6 \end{align*} \] そもそもかけ算とはどういうことか 自然数同士のかけ算が 累加 （ ルイカ ） を表わすことはよく知られている。累加とは0に同じ数を次々に加えてゆくという足し算の繰り返しだから、文字式では例えば次のように表わすことができるのではないかと思われる。ちなみにΣは総和記号、要するに合計を表わす。 \[ \begin{align*} a \times b &= 0 + a_1 + a_2 + \dots + a_b \\ &= 0 + \sum_{k=1}^{n=b} a \end{align*} \] \[ \begin{align*} b \times a &= 0 + b_1 + b_2 + \dots + b_a \\ &= 0 + \sum_{k=1}^{n=a} b \end{align*} \] これではピンと来ないので、これらの文字式の文字に具体的な数を代入してみる。 \[ \begin{align*} 2 \times 3 &= 0 \underbrace{+ 2 + 2 + 2}_{3回足す} \\ &= 0 + \sum_{k=1}^3 2 \\ &= 6 \end{align*} \] \[ \begin{align*} 3 \times 2 &= 0 \underbrace{+ 3