学校に通わずに学ぶログ

この投稿は連立n元一次方程式を解くためのアルゴリズムの1つであるガウスの消去法（通称：掃き出し法）について簡単にまとめたもの。逆行列を用いた解法にも若干触れた。また、R言語、GNU Octave、Maxima、Python 3、Juliaを用いた連立一次方程式の解き方についても記した。 ガウスの消去法をプログラミング言語でコーディングすることについてはこの投稿では扱わなかった。それについてはまた別の機会に。 連立n元一次方程式とは 連立一次方程式は英語ではa system of linear equationsと呼ばれている。日本語に直訳すると線形方程式系。 n元とは変数（未知数）がn個あること。一次とは代数式の次数が1つのこと。つまり方程式を構成する代数式の各項が最大で1つの変数しか持っていないこと。代数式とは数学のお馴染みの文字式のこと。代数式には単項式と二項式と多項式がある。 \[ 2x + 3y \quad 1次式 \] \[ 2x + y^2 \quad 2次式 \] \[ 2x^2y + 5y \quad 3次式 \] 方程式とは2つの代数式の等しい関係を等号で表したもの。 一次方程式を直交座標系に描くと直線になる。したがって線形方程式とも呼ばれている。 HTML5 Canvasが有効ではありません。 連立一次方程式は一次方程式の集合なので、同じ直交座標系に直線に複数描かれ、それらの直線同士が交わるところがあればそこが連立一次方程式の解になる。 例えば GeoGebra というアプリケーション・ソフトウェアを使うと、これを視覚化してくれる。GeoGebraの入力欄に連立一次方程式を構成している各々の一次方程式を入力すると直交座標系に直線を描いてくれる。 描かれた直線同士が互いに交わった点の座標がその連立一次方程式の解。 HTML5 Canvasが有効ではありません。 直線同士が完全に平行になって交わるところがなければその連立一次方程式は解を持たない。 HTML5 Canvasが有効ではありません。 直線同士が完全に重なっている場合はその連立一次方程式は無数の解を持つ。 HTML5 Canvasが有効ではありません。 ちなみにGeoGebraはJava言語の仮想マシンがインストールされた複数のプラッ...

この投稿では行列の 除法 じょほう とそのために前提となるいくつかの予備知識について記した。ただし行列同士の非 可換 かかん 的な乗法についての基礎知識があることを前提にしている。非可換というのは交換法則が成り立たないこと。 逆数 分数の割り算では後者の分数の分母と分子をひっくり返して掛け算をすることがよく知られている。 \[ \dfrac{a}{b} \div \dfrac{\colorbox{yellow}{c}}{\colorbox{cyan}{d}} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{\colorbox{cyan}{d}}{\colorbox{yellow}{c}} = \dfrac{ad}{bc} \] 分子と分母をひっくり返した分数は元の分数の 逆数 ぎゃくすう と呼ばれている。英語で逆数はthe multiplicative inverseと呼ばれている。 例えば6の逆数は6分の1となる。 \[ 6 = \dfrac{6}{1} \rightarrow \dfrac{1}{6} \] ある数をaとし、その逆数をxとすると、aとxを掛け算すると1になるという関係が成り立つ。 \[ ax = xa = 1 \] \( x \)を未知の逆数としてこの方程式を解くとa分の1が得られる。そのために両辺をaで割っている。 \[ \begin{align} ax &= 1 \\ \dfrac{\cancel{a}x}{\cancel{a}} &= \dfrac{1}{a} \\ x &= \dfrac{1}{a} \end{align} \] aとその逆数であるa分の1とを掛け算すると、その答えは1になることが分かる。 \[ a \cdot \dfrac{1}{a} = \dfrac{a}{1} \cdot \dfrac{1}{a} = \dfrac{a \cdot 1}{1 \cdot a} = \dfrac{a}{a} = 1 \] 例えば次のように。 \[ 3 \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{3 \cdot 1}{1 \cdot 3} = \dfrac{3}{3} = 1 \] \[ 1.5 \cdot \dfrac{10}{15} = \dfrac{15 \cd...

行列同士の足し算と引き算 行列の足し算と引き算は同じ型（同じサイズとも言う）の行列同士で可能。同じ型の行列同士を重ねてちょうど同じ位置にある成分同士を足したり引いたりすればいい。 \[ A = \begin{pmatrix} -3 & 5 \\ 10 & -6 \end{pmatrix} \] \[ B = \begin{pmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 8 \end{pmatrix} \] 2×2行列A -3 5 10 -6 2×2行列B 5 -7 -2 8 R言語ではmatrix関数を使って行列を作る。第1引数に行列の要素を、第2引数に行数を、第3引数に列数を指定する。行列の要素は連結関数c()を使ってまとめる。 > A = matrix(c(-3,　10,　5,　-6),　2,　2) > A [,1] [,2] [1,] -3 5 [2,] 10 -6 > B = matrix(c(5,　-2,　-7,　8),　2,　2) > B [,1] [,2] [1,] 5 -7 [2,] -2 8 行列Aと行列Bはともに2×2行列なので足し算や引き算が可能であることが分かる。 \begin{align*} A + B &= \begin{pmatrix} -3 + 5 & 5 + (-7) \\ 10 + (-2) & -6 + 8 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 8 & 2 \end{pmatrix} \end{align*} A + B -3 + 5 5 + (-7) 10 + (-2) -6 + 8 計算結果が正しいかどうかをR言語を使って確認。 > A + B [,1] [,2] [1,] 2 -2 [2,] 8 2 \begin{align*} A - B &= \begin{pmatrix} -3 - 5 & 5 - (-7) \\ 10 -...