集合と集合の演算の基本公式
- \( a \in A \)
- \( A \ni a \)
- aは集合Aの要素。
- \( A = \{a_1, a_2, \cdots , a_n\} \)
- 集合Aは有限個の要素から成る。このような集合を有限集合と呼ぶ。
- \( A = \{a\} \)
- 集合Aは要素aだけから成る。1要素集合、またはシングルトンと呼ぶ。
- \( \{x | -1 \leq x \leq 1,\space x = \mathbb{R}\} \)
- xは-1から1までの間の実数。\( \mathbb{R} \)は実数のこと。集合とその条件（意味）は{集合名|条件式}という書式で表すことができる。
- \( A \cup B \)
- 集合Aと集合Bを合わせた集合を和集合と呼ぶ。
- \( A \cap B \)
- 集合Aと集合Bとの共通する部分を共通部分と呼ぶ。
- \( A \subseteq B = \{a|(a \in A) \cap (a \in B)\} \)
- 集合Aの要素a全てが集合Bの要素でもあるとき、集合Aは集合Bの部分集合。
- \( A \subset B = \{A|(A \subseteq B) \cup (A \neq B)\} \)
- 集合Aは集合Bの真部分集合。部分集合と真部分集合の違いは、真部分集合が集合Aと集合Bが等しい場合（\( A = B \)）を含まないことにある。
- \( A = B = \{A|(A \subseteq B) \cap (B \subseteq A)\} \)
- 集合Aが集合Bの部分要素でかつ集合Bが集合Aの部分集合でもあるとき、つまり集合Aの要素と集合Bの要素とが全く等しいとき、集合Aと集合Bは等しい。
- \( A \neq B \)
- 集合Aの要素と集合Bの要素がひとつでも異なっていたら、集合Aと集合Bとは等しくない。
- \( A = A \)
- 集合Aが集合Aと等しいという命題が成り立つことを反射律と呼ぶ。
- \( A = B \Rightarrow B = A \)
- 集合Aが集合Bと等しいならば集合Bは集合Aと等しい、という命題が成り立つことを対称律と呼ぶ。
- \( (A = B) \cup (B = C) \Rightarrow A = C \)
- 集合Aが集合Bと等しく、かつ、集合Bが集合Cと等しいのならば集合Aは集合Cに等しい、という命題が成り立つことを推移律と呼ぶ。
- \( A \cup B = B \cup A \)
- \( A \cap B = B \cap A \)
- 項の順番を置き換えても計算結果が等しいという、交換の法則が成り立つ。
- \( A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C \)
- このような結合の法則が成り立つ。
- \( A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C \)
- このような結合の法則が成り立つ。
- \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \)
- このような分配の法則が成り立つ。
- \( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \)
- このような分配の法則が成り立つ。
- \( A \cup A = A \)
- \( A \cap A = A \)
- 同じ集合を合わせても共通部分を求めてもその集合と変わらないという、冪等の法則が成り立つ。
- \( A \cap (A \cup B) = A \)
- \( A \cup (A \cap B) = A \)
- 吸収の法則が成り立つ。集合Aと集合Bを合体させた集合ABと集合Aの間の共通する部分は集合A。集合Aと集合Bの間の共通する部分と集合Aを合体させたものは集合Aそのもの。
- 後者は分かりにくい。例えば、ミルクコーヒーとミルクティーの共通部分はミルク。ミルクとミルクコーヒーを混ぜるとミルクミルクコーヒーになってしまうと考えがちだから。集合をあくまでも意味としてのみ解釈して、ミルクコーヒーとミルクティーに共通する意味はミルクが混じっていること。ミルクが混じっていることとミルクコーヒーという意味を合わせるとやはりミルクコーヒーという意味になる、と考えるしかない。集合算は量の計算ではなく意味の計算ということか。
- \( \overline{(A \cup B)} = (\overline{A}) \cap (\overline{B}) \)
- \( \overline{(A \cap B)} = (\overline{A}) \cup (\overline{B}) \)
- ド・モルガンの法則が成り立つ。上線は否定（すなわち補集合）を表している。要するに、先に計算してからその結果を否定しても、先に否定しておいてからそれらを計算しても、結果は同じであるということ。
- \( A = \{\} = \phi \)
その内に要素をひとつも含まない集合、つまり中身が空の集合を空集合と呼び、\( \phi \)という文字で表す。
- \( A \cap B = \phi \)
- 集合Aと集合Bとの共通する部分が空集合のとき、つまり両方の集合に含まれる要素がひとつとしてないとき、集合Aと集合Bとは互いに素であると言う。
- \( \phi \subseteq A \)
- 空集合は任意の集合の部分集合であると決められている。
- \( A \cup (\overline{A}) = X \)
- 集合とその集合でない部分とを合わせると全体集合Xになる。全体集合はUで表すことが多いが、和集合の演算子であるカップと見間違うのでここではXを用いた。
- \( A \cup X = X \)
- 集合Aとそれを部分集合として含む全体集合Xとの和集合は全体集合Xそのもの。
- \( A \cap X = A \)
- 集合Aとそれを部分集合として含む全体集合Xとの共通部分は集合Aそのもの。
- \( A \cup \phi = A \)
- 集合Aと空集合の和集合は集合Aそのもの。
- \( A \cap \phi = \phi \)
- 集合Aと空集合の共通部分は空集合。
- \( A \cap (\overline{A}) = \phi \)
- 集合とその集合でない部分との共通する部分は空集合になる。つまり存在しない。
- \( A \setminus B \)
- 集合Aから集合Bとの共通部分を取り除いた残りの部分を差集合と呼ぶ。
- \( \overline{A} = \{A|(A \subset X) \cup (X \setminus A)\} \)
- 集合Aが全体集合Xの真部分集合であり、かつ、全体集合Xから集合Aを取り除いた残りの部分は、全体集合Xに関する集合Aの補集合と呼ぶ。つまり、全体集合Xの一部ではあるが、集合Aに含まれない集合はすべて補集合であり、集合Aの否定によって表される。
- \( \overline{\overline{A}} = A \)
- 補集合の補集合、すなわち集合の二重否定はもとの集合を指す。
- \( \overline{X} = \phi\)
- \( \overline{\phi} = X \)
- 全体集合Xの補集合すなわち全体集合の否定は空集合と等しく、空集合の補集合すなわち空集合の否定は全体集合と等しい。
- \( A \oplus B = \{A|(A \setminus B) \cup (B \setminus A)\} \)
- 共通する部分を持っている集合同士から共通する部分を取り除いた残りの部分を対称差と呼ぶ。\( \ominus \)という演算子を使って表すこともある。
- 集合Aと集合Bの対称差は、集合Aから集合Bを取り除いた差集合と集合Bから集合Aを取り除いた差集合の和集合と等しい。
- \( A \setminus B = A \cap (\overline{B}) \)
- 集合Aと集合Bの差集合は、集合Aと集合Bでない部分との共通部分に等しい。
- \( A \oplus B = B \oplus A \)
- 対称差にも交換法則が成り立つ。
- \( (A \oplus B) \oplus C = A \oplus (B \oplus C) \)
- 対称差にも結合法則が成り立つ。
- \( A \cap (B \oplus C) = (A \cap B) \oplus (A \cap C) \)
- 対称差にも分配法則が成り立つ。
- \( A \oplus B = (A \cup B) \setminus (A \cap B) \)
- 集合Aと集合Bの対称差は、集合Aと集合Bの和集合から集合Aと集合Bの共通部分を取り除いた部分（差集合）と等しい。
- \( A \oplus \phi = A \)
- 集合Aと空集合の対称差は集合Aと等しい。
- \( A \oplus B = \phi \Leftrightarrow (A = B) \)
- 集合Aと集合Bの対称差が空集合ならば集合Aと集合Bは等しい。
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