速さ、時間、距離の関係、及び除数や分母が未知数の方程式

速さの平均へいきん、距離きょり、時間じかんの関係は次のとおり。距離は道のりと呼ばれることもある。

\[ \begin{align*} 速さの平均 &= 距離 \div 時間 \\ 時間 &= 距離 \div 速さの平均 \\ 距離 &= 速さの平均 \times 時間 \end{align*} \]

速さの平均とは？

距離をかかった時間で割ったもの。時間分の距離。

かかった時間とは？

距離を速さの平均で割ったもの。速さの平均分の距離。

距離とは？

速さの平均をかかった時間倍ばいしたもの、または、かかった時間を速さの平均倍したもの。

ただし、速さの平均、時間、距離には、その計り方の目盛りになる各々の単位がそれぞれ付く。時間の単位は例えば秒(s)、分(m)、時間(h)など。距離の単位はメートル法を用いるならば例えばメートル(m)とかキロメートル(km)など。速さの平均の単位は例えば時速何キロメートル（km/h）、秒速何メートル(m/s)など。

方程式を使って代数的に解く

方程式ほうていしきの解き方が分かっている場合、これら3つの関係式を3つとも覚える必要はないかもしれない。方程式とは式の答えは分かっているがその式の一部の数が欠けているような式のこと。欠けている数は未知数みちすうと呼ばれ、それを文字に置き換えて代数だいすう的なやり方で解く。

例えば次のような式が方程式。\( x \)が未知数。

\[ x + 5 = 10 \] \[ \colorbox{yellow}{10 - x = 5} \] \[ 2x = 10 \] \[ \dfrac{x}{2} = \dfrac{5}{2} \] \[ \colorbox{yellow}{\(\dfrac{25}{x} = 5\)} \]

黄色く色付けされている方程式は少し見馴れないかもしれない。1つは引き算の引く数が未知数であり、もう1つは分母が未知数である方程式。

黄色く色付けされていない方程式は移項いこうという方法によって解くことができる。これは未知数が属す辺から未知数以外の定数を取り除くために逆演算を使う。逆演算とは足し算に対する引き算、引き算に対する足し算、掛け算に対する割り算、割り算に対する足し算のこと。

方程式は両辺が常に等しくなる必要があるので両辺に必ず同じ演算を施す。この処理を簡略化したものが移項。定数とその演算が片方の辺からもう片方の辺に移動したときに逆演算になることに注目。

では上記の方程式を移項という方法を使って具体的に解いてみる。

左辺では5を足しているので右辺では5を引く。

\[ \begin{align*} x \colorbox{cyan}{+ 5} &= 10 \\ x &= 10 \colorbox{pink}{- 5} \\ x &= 5 \end{align*} \]

左辺では2を掛けているので右辺では2で割る。

\[ \begin{align*} 2\colorbox{cyan}{\( x \)} &= 10 \\ x &= 10 \colorbox{pink}{\( \div 2 \)} \\ x &= 5 \end{align*} \]

左辺では2で割っているので右辺では2を掛ける。

\[ \begin{align*} \dfrac{x}{2} &= \dfrac{5}{2} \\ x \colorbox{cyan}{\( \div 2 \)} &= \dfrac{5}{2} \\ x &= \dfrac{5 \colorbox{pink}{\( \cdot 2 \)}}{2} \\ x &= \dfrac{10}{2} \\ x &= \dfrac{5}{1} = 5 \end{align*} \]

黄色く色付けされた方程式では移項を用いない。xと右辺の値をただ交換するだけ。

\[ \begin{align*} 10 - \colorbox{cyan}{\( x \)} &= \colorbox{pink}{5} \\ 10 - \colorbox{pink}{5} &= \colorbox{cyan}{\( x \)} \\ 5 &= x \end{align*} \]

\[ \begin{align*} \dfrac{25}{\colorbox{cyan}{\( x \)}} &= \colorbox{pink}{5} \\ \dfrac{25}{\colorbox{pink}{5}} &= \colorbox{cyan}{\( x \)} \\ \dfrac{5}{1} &= x \\ 5 &= x \end{align*} \]

数式処理システムMaximaでこれらの方程式を解くにはsolve(方程式,未知数)函数かんすうを用いることができる。

$ maxima
Maxima 5.42.1 http://maxima.sourceforge.net
（中略）
(%i1) solve(x+5=10,x);
(%o1)                               [x = 5]
(%i2) solve(10-x=5,x);
(%o2)                               [x = 5]
(%i3) solve(2*x=10,x);
(%o3)                               [x = 5]
(%i4) solve(x/2=5/2,x);
(%o4)                               [x = 5]
(%i5) solve(25/x=5,x);
(%o5)                               [x = 5]
(%i6) quit();

いずれも\( x = 5 \)であることが分かった。

方程式の解き方を分かっていれば、例えば速さの平均が次のような関係を持っていることを知っているだけで十分。

\[ 速さの平均 = \dfrac{距離}{時間} \]

速さの平均が毎時4kmで5時間歩いたとき、どれだけの距離を歩いたか知るためには方程式に次のように値を代入してそれを解く。距離を未知数のdで表すことにする。

\[ \begin{align*} 4 &= \dfrac{d}{5} \\ 4 \times 5 &= d \\ 20 &= d \end{align*} \]

この方程式の右辺の5を左辺に移項することによって\( d = 20 \)という解が得られた。よって距離は20km。

速さの平均が毎時15kmで300kmの距離を移動したとき、どれだけの時間tを要したかを知りたければ、方程式に次のように値を代入してそれを解く。時間を未知数のtで表すことにする。

\[ \begin{align*} 15 &= \dfrac{300}{t} \\ t &= \dfrac{300}{15} \\ t &= \dfrac{20}{1} \\ t &= 20 \end{align*} \]

これは分母に未知数がある方程式なので移項を用いないで解くことができた。かかる時間は20時間。